نصائح مفيدة

عامل متعدد الحدود

Pin
Send
Share
Send
Send


عامل متعدد الحدود:
× 4 + × 3 - 6 × 2.

ضع x 2 بين قوسين:
.
نحل المعادلة التربيعية x 2 + x - 6 = 0:
.
جذور المعادلة:
, .

ومن ثم نحصل على عامل متعدد الحدود:
.

عامل كثير الحدود من الدرجة الثالثة:
× 3 + 6 × 2 + 9 ×.

ضع x بين قوسين:
.
نحل المعادلة التربيعية x 2 + 6 x + 9 = 0:
لها تمييز:.
بما أن المتمايز يساوي الصفر ، فإن جذور المعادلة متعددة: ،
.

ومن ثم نحصل على عامل متعدد الحدود:
.

عامل متعدد الحدود الدرجة الخامسة:
× 5 - 2 × 4 + 10 × 3.

ضع x 3 من الأقواس:
.
نحل المعادلة التربيعية × 2 - 2 × + 10 = 0.
لها تمييز:.
بما أن المتمايز أقل من الصفر ، فإن جذور المعادلة معقدة: ،
, .

عامل متعدد الحدود هو:
.

إذا كنا مهتمين بالتعامل مع معاملات حقيقية ، فعندئذ:
.

أمثلة مع كثير الحدود biquadratic

عامل متعدد الحدود biquadic:
× 4 + × 2 - 20.

نحن نطبق الصيغ:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ،
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

,
.

عامل متعدد الحدود إلى biquadratic:
× 8 + × 4 + 1.

نحن نطبق الصيغ:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2 ،
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

,

,
.

أمثلة لعوامل متعددة الحدود مع جذور عدد صحيح

عامل متعدد الحدود:
.

افترض المعادلة

لديه جذر كامل واحد على الأقل. ثم هو مقسوم على 6 (مصطلح بدون x). بمعنى أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6 .
نحن نستبدل هذه القيم بدورها:
(–6) 3 – 6·(–6) 2 + 11·(–6) – 6 = –504 ,
(–3) 3 – 6·(–3) 2 + 11·(–3) – 6 = –120 ,
(–2) 3 – 6·(–2) 2 + 11·(–2) – 6 = –60 ,
(–1) 3 – 6·(–1) 2 + 11·(–1) – 6 = –24 ,
1 3 – 6·1 2 + 11·1 – 6 = 0 ,
2 3 – 6·2 2 + 11·2 – 6 = 0 ,
3 3 – 6·3 2 + 11·3 – 6 = 0 ,
6 3 – 6·6 2 + 11·6 – 6 = 60 .

لذلك ، وجدنا ثلاثة جذور:
س 1 = 1 ، س 2 = 2 ، س 3 = 3 .
نظرًا لأن كثير الحدود الأصلي من الدرجة الثالثة ، فليس له أكثر من ثلاثة جذور. منذ أن وجدنا ثلاث جذور ، فهي بسيطة. ثم
.

عامل متعدد الحدود:
.

افترض المعادلة

لديه جذر كامل واحد على الأقل. ثم هو مقسوم على 2 (مصطلح بدون x). بمعنى أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
–2, –1, 1, 2 .
نحن نستبدل هذه القيم بدورها:
(–2) 4 + 2·(–2) 3 + 3·(–2) 3 + 4·(–2) + 2 = 6 ,
(–1) 4 + 2·(–1) 3 + 3·(–1) 3 + 4·(–1) + 2 = 0 ,
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ,
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .

لذلك وجدنا جذر واحد:
س 1 = –1 .
قسّم كثير الحدود على x - x 1 = x - (–1) = x + 1:

ثم،
.

أنت الآن بحاجة إلى حل معادلة الدرجة الثالثة:
.
إذا افترضنا أن هذه المعادلة لها جذر كامل ، عندها مقسوم على 2 (مصطلح بدون x). بمعنى أن الجذر بالكامل يمكن أن يكون أحد الأرقام:
1, 2, –1, –2 .
البديل x = –1:
.

لذلك وجدنا الجذر الآخر س 2 = -1. سيكون من الممكن ، كما في الحالة السابقة ، تقسيم كثير الحدود إلى ، لكننا سنجمع الأعضاء:
.

نظرًا لأن المعادلة x 2 + 2 = 0 ليس لها جذور حقيقية ، فإن الشكل متعدد الحدود له الشكل:
.

الكاتب: أوليغ Odintsov. تاريخ النشر: 06/18/2015

نظرية بيزو

بعد تقسيم كثير الحدود من النموذج P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) ، ثم نحصل على الباقي ، الذي يساوي كثير الحدود في النقطة s ، ثم نحصل على

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) ، حيث Q n - 1 (x) متعدد الحدود مع الدرجة n - 1.

العوملة من ثلاثي الحدود مربع

يمكن أن يتحلل ثلاثي الحدود مربعة الشكل a x 2 + b x + c إلى عوامل خطية. ثم نحصل على x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) ، حيث x 1 و x 2 هما الجذور (معقدة أو حقيقية).

هذا يدل على أن التحلل نفسه يتم اختزاله لحل المعادلة التربيعية في وقت لاحق.

عامل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية.

من الضروري إيجاد جذور المعادلة 4 × 2 - 5 × + 1 = 0. لهذا ، من الضروري إيجاد قيمة المُميِّز بالصيغة ، ثم نحصل على D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. ومن هنا لدينا ذلك

x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

ويترتب على ذلك أن 4 × 2 - 5 × + 1 = 4 × - 1 4 × - 1.

للتحقق ، تحتاج إلى فتح الأقواس. ثم نحصل على تعبير عن الشكل:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

بعد التحقق ، نأتي إلى التعبير الأصلي. وهذا هو ، يمكننا أن نستنتج أن التحلل صحيح.

عامل الثلاثية المربعة للشكل 3 × 2 - 7 × - 11.

نحصل على أنه من الضروري حساب المعادلة التربيعية الناتجة من النموذج 3 × 2 - 7 × - 11 = 0.

للعثور على الجذور ، يجب على المرء أن يحدد معنى التمييز. لقد حصلنا على ذلك

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6

من هذا نحصل على 3 × 2 - 7 × - 11 = 3 × - 7 + 181 6 × - 7 - 181 6.

عامل كثير الحدود 2 × 2 + 1.

نحن الآن بحاجة إلى حل المعادلة التربيعية 2 × 2 + 1 = 0 والعثور على جذورها. لقد حصلنا على ذلك

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i

تسمى هذه الجذور بالترافق المركب ، مما يعني أنه يمكن تمثيل التحلل نفسه على أنه 2 × 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

حلل مربع ثلاثي الحدود × 2 + 1 3 × + 1.

تحتاج أولاً إلى حل معادلة تربيعية للشكل x 2 + 1 3 x + 1 = 0 والعثور على جذورها.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ix 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

بعد أن حصلت على الجذور ، نكتب

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

إذا كانت القيمة التمييزية سالبة ، فستظل كثيرات الحدود متعددة الحدود من الدرجة الثانية. ويترتب على ذلك أننا لن نحللها إلى عوامل خطية.

طرق تفصيل كثير الحدود من الدرجة أعلى من الثانية

يفترض التحلل طريقة عالمية. تستند معظم الحالات إلى نتيجة نظرية بيزوت. للقيام بذلك ، حدد قيمة الجذر × 1 وقم بتقليل درجتها عن طريق القسمة على كثير الحدود على 1 بالقسمة على (x - x 1). يحتاج متعدد الحدود الناتج إلى إيجاد الجذر x 2 ، وتكون عملية البحث دورية حتى نحصل على تحلل كامل.

إذا لم يتم العثور على الجذر ، فسيتم استخدام طرق أخرى للعوامل: التجميع ، مصطلحات إضافية. يفترض هذا الموضوع حل المعادلات ذات الدرجات العليا والمعاملات الصحيحة.

بين قوسين عامل مشترك

خذ بعين الاعتبار الحالة التي يكون فيها المصطلح الحر مساويًا للصفر ، ثم يصبح شكل متعدد الحدود كما هو P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + 1 ×.

يمكن ملاحظة أن جذر كثير الحدود سيكون x 1 = 0 ، ثم يمكننا تمثيل متعدد الحدود في شكل التعبير P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

تعتبر هذه الطريقة بمثابة وضع العامل المشترك بين قوسين.

عامل متعدد الحدود من الدرجة الثالثة 4 × 3 + 8 × 2 - س.

نرى أن x 1 = 0 هي جذر متعدد الحدود المعطى ، ثم يمكننا وضع x من بين أقواس التعبير بأكمله. نحصل على:

4 × 3 + 8 × 2 - س = س (4 × 2 + 8 س - 1)

ننتقل إلى إيجاد جذور ثلاثية الحدود المربعة 4 × 2 + 8 × 1. العثور على التمييز والجذور:

D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 × 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2

ثم يتبع ذلك

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

عامل متعدد الحدود ذو جذور عقلانية

بادئ ذي بدء ، نحن نأخذ في الاعتبار طريقة تحليل تحتوي على معاملات عدد صحيح من النموذج P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 ، حيث يكون المعامل على أعلى درجة 1.

عندما يكون كثير الحدود له جذور كاملة ، فإنهم يعتبرون مقسومات على المدى الحر.

حلّل التعبير f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

النظر في ما إذا كانت هناك جذور كاملة. من الضروري كتابة مقسومات الرقم - 18. نحصل على هذا ± 1 ، ± 2 ، ± 3 ، ± 6 ، ± 9 ، ± 18. ويترتب على أن هذا كثير الحدود له جذور كاملة. يمكنك التحقق وفقا لمخطط هورنر. إنها مريحة للغاية وتتيح لك الحصول بسرعة على معاملات التوسعة متعددة الحدود:

س أنامعاملات كثير الحدود
13- 1- 9- 18
113 + 1 · 1 = 4- 1 + 4 · 1 = 3- 9 + 3 · 1 = - 6- 18 + ( - 6 ) · 1 = - 24
- 113 + 1 · ( - 1 ) = 2- 1 + 2 · ( - 1 ) = - 3- 9 + ( - 3 ) · ( - 1 ) = - 6- 18 + ( - 6 ) · ( - 1 ) = - 12
213 + 1 · 2 = 5- 1 + 5 · 2 = 9- 9 + 9 · 2 = 9- 18 + 9 · 2 = 0
215 + 1 · 2 = 79 + 7 · 2 = 239 + 23 · 2 = 55
- 215 + 1 · ( - 2 ) = 39 + 3 · ( - 2 ) = 39 + 3 · ( - 2 ) = 3
315 + 1 · 3 = 89 + 8 · 3 = 339 + 33 · 3 = 108
- 315 + 1 · ( - 3 ) = 29 + 2 · ( - 3 ) = 39 + 3 · ( - 3 ) = 0

ويترتب على ذلك أن x = 2 و x = - 3 هي جذور كثير الحدود الأصلية ، والتي يمكن تمثيلها كمنتج للنموذج:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (× 2 + 2 × + 3)

ننتقل إلى التحلل من ثلاثية الشكل التربيعي للشكل × 2 + 2 × + 3.

بما أن المميّز سلبي ، فهذا يعني أنه لا توجد جذور حقيقية.

الجواب هو: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

يُسمح باستخدام اختيار الجذر وتقسيم كثير الحدود إلى متعدد الحدود بدلاً من مخطط هورنر. ننتقل إلى النظر في توسيع متعدد الحدود يحتوي على معاملات عدد صحيح من النموذج P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 ، أكبرهم يساوي واحد.

هذه الحالة تحدث للكسور العقلانية جزئيا.

عامل f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

من الضروري إجراء تغيير المتغير y = 2 x ، يجب أن ننتقل إلى كثير الحدود مع معاملات تساوي 1 على أعلى درجة. يجب أن تبدأ بضرب التعبير بـ 4. لقد حصلنا على ذلك

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

عندما يكون للوظيفة الناتجة من النموذج g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 جذور عدد صحيح ، فإن موقعها بين مقسومات المصطلح الحر. سيأخذ الإدخال النموذج:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

ننتقل لحساب الدالة g (y) في هذه النقاط من أجل الحصول على صفر نتيجة لذلك. لقد حصلنا على ذلك

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 جم (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 جم (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 جم (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 جم (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 جم (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 جم (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 جم (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 جم (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

نحصل على أن y = - 5 هي جذر معادلة النموذج y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ، مما يعني أن x = y 2 = - 5 2 هي جذر الوظيفة الأصلية.

من الضروري القسمة على عمود 2 × 3 + 19 × 2 + 41 × + 15 على × + 5 2.

نكتب ونحصل على:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

سيستغرق التحقق من المقسّمات وقتًا طويلاً ، لذلك من المربح أكثر تحديد عامل الحدود الثلاثية المربعة بالشكل × 2 + 7 × + 3. تعادل الصفر ، نجد التمييز.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 × + 7 2 + 37 2

يتبع ذلك

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

طريقة التجميع

هناك حالات عندما يكون من الممكن تجميع شروط كثير الحدود لإيجاد عامل مشترك ووضعه خارج الأقواس.

عامل متعدد الحدود × 4 + 4 × 3 - × 2 - 8 × - 2.

لأن المعاملات هي أعداد صحيحة ، فإن الجذور يمكن أن تكون أعدادًا صحيحة. للتحقق ، نأخذ القيم 1 و - 1 و 2 و - 2 من أجل حساب قيمة كثير الحدود في هذه النقاط. لقد حصلنا على ذلك

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 ( - 1 ) 4 + 4 · ( - 1 ) 3 - ( - 1 ) 2 - 8 · ( - 1 ) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 ( - 2 ) 4 + 4 · ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) 2 - 8 · ( - 2 ) - 2 = - 6 ≠ 0

هذا يدل على عدم وجود جذور ، فمن الضروري استخدام طريقة مختلفة من التحلل والحل.

من الضروري تجميع:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8) x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

بعد تجميع متعدد الحدود الأصلي ، من الضروري تمثيله على أنه نتاج لثلاثي حدود مربعة. للقيام بذلك ، نحن بحاجة إلى عامل. حصلنا على ذلك

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 × 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

لا تعني بساطة التجميع أنه من السهل بدرجة كافية اختيار المصطلحات. لا توجد طريقة محددة لحلها ؛ لذلك ، من الضروري استخدام نظريات وقواعد خاصة.

عامل متعدد الحدود × 4 + 3 × 3 - × 2 - 4 × + 2.

كثير الحدود المعطاة ليس له جذور عدد صحيح. من الضروري تجميع الشروط. لقد حصلنا على ذلك

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

بعد التخصيم ، نحصل على ذلك

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

باستخدام صيغ الضرب المختصرة وعامل ذات الحدين في نيوتن

في كثير من الأحيان لا يوضح المظهر دائمًا طريقة الاستخدام عند التحلل. بعد إجراء التحويلات ، يمكنك بناء خط يتكون من مثلث Pascal ، وإلا يطلق عليه Newton's ذو الحدين.

عامل متعدد الحدود × 4 + 4 × 3 + 6 × 2 + 4 × - 2.

تحتاج إلى تحويل التعبير إلى كتابة

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

يشار إلى تسلسل معاملات المجموع في الأقواس بالتعبير x + 1 4.

لذلك ، لدينا x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

بعد تطبيق الفرق في المربعات ، نحصل عليها

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

النظر في التعبير الذي هو في القوس الثاني. من الواضح أنه لا توجد خيول ، لذلك يجب تطبيق صيغة الفرق المربع مرة أخرى. نحصل على تعبير عن النموذج

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

عامل x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

دعونا نفعل تحويل التعبير. لقد حصلنا على ذلك

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر للفرق المكعبات. نحصل على:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

طريقة لاستبدال متغير عند العوملة متعدد الحدود

عند استبدال المتغير ، يتم تقليل الدرجة وتعامل كثير الحدود.

عامل متعدد الحدود من الشكل × 6 + 5 × 3 + 6.

حسب الحالة ، من الواضح أنه من الضروري استبدال y = x 3. نحصل على:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

جذور المعادلة التربيعية التي تم الحصول عليها هي y = - 2 و y = - 3 ، إذن

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

من الضروري تطبيق صيغة الضرب المختصر لمجموع المكعبات. نحصل على تعبيرات عن النموذج:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

وهذا هو ، حصلوا على التحلل المطلوب.

الحالات التي تمت مناقشتها أعلاه ستساعد في النظر في كثير الحدود وعوملة بطرق مختلفة.

مفهوم وتعريف

كثيرون لا يفهمون كيفية التعامل مع ثلاثية الحدود المربعة ، ولماذا يتم ذلك. في البداية ، قد يبدو وكأنه ممارسة غير مجدية. لكن لا شيء يحدث في الرياضيات مثل هذا. هناك حاجة إلى التحويل لتبسيط التعبير وسهولة الحساب.

كثير الحدود له الشكل - ax² + bx + c ،دعا مربع ثلاثي الحدود. يجب أن يكون المصطلح "a" سالبًا أو إيجابيًا. في الممارسة العملية ، هذا التعبير يسمى المعادلة التربيعية. لذلك ، في بعض الأحيان يقولون بطريقة مختلفة: كيفية توسيع المعادلة التربيعية.

اهتمام! يسمى كثير الحدود مربع بسبب أعظم درجة - مربع. و trinomial ومن المقرر أن 3 المصطلحات المركبة.

بعض الأنواع الأخرى من متعددو الحدود:

  • خطي ذو الحدين (6x + 8) ،
  • أربعة مكعبات (x³ + 4x²-2x + 9).

العوملة من ثلاثي الحدود مربع

أولاً ، التعبير يساوي الصفر ، فأنت بحاجة إلى العثور على قيم الجذر x1 و x2. لا يمكن أن يكون هناك جذور ، ربما جذر واحد أو اثنين. يتم تحديد وجود الجذور بواسطة التمييز. يجب أن تكون صيغته معروفة عن ظهر قلب: D = b²-4ac.

إذا كانت النتيجة D سالبة ، فلا توجد جذور. إذا كانت إيجابية ، هناك نوعان من الجذور. إذا كانت النتيجة صفر ، فإن الجذر هو واحد. يتم حساب الجذور أيضًا بالصيغة.

إذا كان حساب المميّز ينتج عنه صفر ، فيمكنك استخدام أي من الصيغ. في الممارسة العملية ، يتم اختصار الصيغة ببساطة: -b / 2a.

الصيغ للقيم التمييزية المختلفة مختلفة.

إذا كانت D إيجابية:

إذا كانت D صفرا:

إذا كان التعبير سلبيًا ، فلا يجب التفكير في شيء.

هذا مثير للاهتمام! كيف تجد وماذا سيكون محيط

الآلات الحاسبة على الانترنت

هناك آلة حاسبة على الإنترنت على شبكة الإنترنت. مع ذلك ، يمكنك عامل. توفر بعض الموارد فرصة لرؤية الحل خطوة بخطوة. تساعد هذه الخدمات على فهم الموضوع بشكل أفضل ، ولكن عليك أن تحاول فهمه جيدًا.

إذا كان الموضوع واضحًا ، فمن المستحسن استخدام حاسبة على الإنترنت للتحقق من الحل.

الحل البديل

بعض الناس لا يستطيعون تكوين صداقات مع التمييز. يمكنك عامل ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية في طريقة أخرى. للراحة ، يتم عرض الطريقة كمثال.

نحن نعلم أنه يجب أن يظهر بين قوسين: (_) (_). عندما يظهر التعبير بالشكل التالي: x² + bx + c ، ضع x: (x _) (x_) في بداية كل شريحة. الرقمان المتبقيان هما المنتج الذي يعطي "c" ، أي -10 في هذه الحالة. لمعرفة ماهية هذه الأرقام ، لا يمكن تحقيق ذلك إلا من خلال طريقة التحديد. يجب أن تتوافق الأرقام البديلة مع المدة المتبقية.

هذا مثير للاهتمام! دروس الرياضيات: الضرب بصفر هو القاعدة الرئيسية

على سبيل المثال ، ضرب الأرقام التالية يعطي -10:

بعد ذلك ، نقوم بإجراء التحديد ونرى للحصول على تعبير كان أولاً:

  1. (x-1) (x + 10) = x2 + 10x-x-10 = x2 + 9x-10. لا.
  2. (x-10) (x + 1) = x2 + x-10x-10 = x2-9x-10. لا.
  3. (x-5) (x + 2) = x2 + 2x-5x-10 = x2-3x-10. لا.
  4. (x-2) (x + 5) = x2 + 5x-2x-10 = x2 + 3x-10. مناسبة.

لذا ، فإن تحول التعبير x2 + 3x-10 يشبه هذا: (x-2) (x + 5).

مهم! يجدر بالمراقبة بعناية حتى لا تخلط بين العلامات.

تحلل ثلاثي الحدود المعقدة

إذا كانت "a" أكبر من واحدة ، تبدأ الصعوبات. لكن كل شيء ليس صعبا كما يبدو.

لتحديد العوامل ، تحتاج أولاً إلى معرفة ما إذا كان من الممكن وضع شيء ما بين قوسين.

على سبيل المثال ، إعطاء التعبير: 3x² + 9x-30. الرقم 3 بين قوسين هنا:

3 (x² + 3x-10). والنتيجة هي الحدود الثلاثية المعروفة بالفعل. الجواب هو: 3 (x-2) (x + 5)

كيف تتحلل إذا كان المصطلح التربيعي سالبًا؟ في هذه الحالة ، يتم أخذ الرقم -1 خارج القوس. على سبيل المثال: -x²-10x-8. بعد التعبير سوف تبدو مثل هذا:

يختلف المخطط قليلاً عن السابق. لا يوجد سوى عدد قليل من النقاط الجديدة. افترض أنه تم إعطاء التعبير: 2x² + 7x + 3. الإجابة مكتوبة أيضًا بين قوسين ، يجب ملؤها (_) (_). في القوس الثاني ، تتم كتابة x ، وفي الجزء الأول ، ما تبقى. يبدو كالتالي: (2x _) (x_). خلاف ذلك ، يتم تكرار النمط السابق.

الرقم 3 يعطي الأرقام:

نحل المعادلات عن طريق استبدال هذه الأرقام. الخيار الأخير مناسب. لذا ، فإن تحول التعبير 2x² + 7x + 3 يشبه هذا: (2x + 1) (x + 3).

هذا مثير للاهتمام! نحن نعتبرها صحيحة: كيفية العثور على نسبة من المبلغ والعدد

حالات أخرى

لن ينجح تحويل التعبير دائمًا. في الطريقة الثانية ، حل المعادلة غير مطلوب. لكن إمكانية تحويل المصطلحات إلى منتج يتم التحقق منها فقط من خلال التمييز.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

شاهد الفيديو: تحليل كثيرات الحدود طريقة المعامل المشترك (يونيو 2022).

Pin
Send
Share
Send
Send